Einfuehrung in Site-Swaps Mit Site-Swaps kann man Jongliermuster notieren, allerdings nicht alle Eigenschaften und nicht alle Jongliermuster. Erfunden wurde Site-Swap von Bengt Magnussen und Bruce Tiemann (und anderen zur gleichen Zeit). Die historisch erste Beschreibung von Siteswaps (1991) kann man unter http://www.juggling.org/help/siteswap/bengt.html nachlesen. Es wird davon ausgegangen, dass man immer abwechselnd und in regelmaessigen Abstaenden mit der linken und der rechten Hand wirft. Also etwa so: L R L R L R L R L R ... ---------------------------------> Zeitachse Ein Ball der 3-Ball-Kaskade legt z.B folgenden Weg zurueck: . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . .. .. .. L R L R L R L R L R ---------------------------------> Zeitachse Bei der Site-Swap-Notation werden jetzt nur die Abwuerfe notiert: ____________________________________ | | | Wann wird der Ball, den | | ich jetzt in die Luft werfe, | | das naechste Mal von mir geworfen? | |____________________________________| Der Ball, den die linke Hand in obigen Muster am Anfang wirft, wird z.B. 3 Wuerfe spaeter wieder geworfen. Also koennte man auch schreiben: 3 3 3 3 L R L R L R L R L R ---------------------------------> Zeitachse Nehmen einen weiteren Ball der Kaskade hinzu: A AB B A BA B A BA B A B A X B A X B A X A B AA BB AA BB AA A B AA BB AA BB AA L R L R L R L R L R ---------------------------------> Zeitachse 3 3 3 3 3 3 3 L R L R L R L R L R ---------------------------------> Zeitachse Bzw. mit drei Baellen: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 L R L R L R L R L R ---------------------------------> Zeitachse Jeder Ball wird so geworfen, dass er drei Wuerfe spaeter wieder geworfen werden kann. Der Site-Swap fuer die 3-Ball-Kaskade ist also 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3, das bedeutet: "linke Hand wirft einen Ball, der drei Wuerfe spaeter wieder geworfen wird, dann wirft die rechte Hand einen Ball, der drei Wuerfe spaeter wieder geworfen wird, dann wirft die linke Hand einen Ball, der drei Wuerfe spaeter wieder geworfen wird, ..." Da man die Kaskade beliebig lange machen kann (theoretisch), geht man bei Side-Swaps davon aus, dass man diese beliebig oft wiederholen kann. Es reicht also, die ersten drei Wuerfe zu notieren (3 3 3), oder auch nur 3. 3 steht also fuer 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3..., die Kaskade. Es wird nicht notiert, wann die Baelle landen. Sie landen rechtzeitig, aber nicht zu frueh: Ein Ball, der hier | geworfen werden soll, muss \|/ ' L R L R L R L R L R |___| | irgendwann hier | landen: Wenn die Hand leer ist, aber bevor der Ball geworfen wird. Je spaeter ein Ball landen soll, je groesser also die Zahl ist, desto hoeher muss man ihn werfen. Normalerweise werfen wir eine 5-Ball-Kaskade schneller als eine 3-Ball Kaskade, da die Abweichungen bei hohen Wuerfen sonst zu gross werden. Bei Site-Swaps brauchen wir hingegen regelmaessige Abstaende der Wuerfe. Wenn wir 5er- und 3er-Wuerfe mischen, muessen sie im gleichen Rhythmus werfen. Deshalb sind Site-Swap-5er hoeher als gewohnte 5er. Da die Haende immer abwechselnd dran sind, bedeutet eine gerade Zahl: Der Ball wird wieder von derselben Hand geworfen. Baelle, die in einer ungeraden Anzahl von Wuerfen wieder dran sind (beim naechsten, ueberuebernaechsten, ...), wechseln im Flug die Haende. Eine 0 bedeutet, dass hier kein Ball geworfen wird. An dieser Stelle kann die Hand also leer sein. Es ist also eine Pause fuer die HAnd. "3 3 0" ist z.B. die Kaskade, wenn man einen Ball weglaesst, also zwei Baelle mit Luecke. Eine 1 ist ein schneller waagerechter Wurf, wie beim Shower. Der Shower (3 Baelle im Kreis) ist als Site-Swap "5 1": Ein hoher Wurf, und ein schneller Wurf zurueck. Eine 2 ist ein kurzer Wurf senkrecht nach oben, so dass der Ball wieder da ist, wenn die Hand das naechste Mal etwas wirft (Nicht zu verwechseln mit der 4, bei der die Hand einen weiteren Wurf macht, bis der Ball wieder da ist). Da die Hand aber bis zum naechsten Wurf nicht gebraucht wird, kann man eine 2 auch einfach in der Hand liegen lassen: Dann ist sie da, wenn sie wieder gebraucht wird, sie stoert zwischendurch aber auch nicht. Jongliermuster, bei denen ein Ball in irgendwelchen Kurven zwischen den anderen Baellen hindurchgetragen wird, enthalten oft eine 2. Einige bekannte Site-Swaps sind: "3" (= "3 3 3 3 3 3 3 3 3 ...") Die Dreiball-Kaskade "4" Werfen wir alle Baelle als 4, dann wechselt kein Ball die Hand. Wir haben 4 Wuerfe, bis der erste geworfene Ball wieder da ist, d.h. zwei links, zwei rechts, also: Eine 4-Ball Kaskade! "5" ist die Fuenfballkaskade, usw. Mills Mess Bei Mills Mess macht man eine Kaskade, wirft aber 3x alle Baelle links und faengt alle Baelle rechts, und wirft dann 3x alle Baelle rechts und faengt links. Da dies bei Site-Swaps aber nicht mitnotiert wird, bleibt von dem kreuzen und entkreuzen der Arme nicht viel uebrig: Mills Mess ist auch "3". Mit dieser Grundform des Site-Swap nicht notieren lassen sich Muster, bei denen die Haende nicht abwechselnd werfen, z.B. paralelle Saeulen. Andere Muster sind erst durch Site-Swaps bekannt geworden: "441" ist ein Dreiball-Muster: Am Anfang haelt man zwei Baelle rechts und einen Ball links. Man wirft rechst einen Ball gerade hoch, dann links einen Ball gerade hoch, dann wirft man einen Ball schnell waagerecht von der rechten in die linke Hand (wie beim Shower), den wirft man links gerade hoch, dan einen rechts gerade hoch, dann einen Ball waagerecht von links nach rechts,... "501" ist ein Zweiballmuster: Am Anfang haelt man beide Baelle rechts, und wirft einen im hohen Bogen nach links. Den zweiten Ball wirft man unter diesem hindurch in einem schnellen waagerechten Wurf auch in die linke Hand. Diesen Ball wirft man gleich weiter im hohen Bogen nachrechts, und dann den ersten geworfenen Ball unter dem nach rechts fliegendem Ball hindurch waagerecht nach rechts. Eine der bezaubernsten Eigenschaften von Site-Swaps ist: Um festzustellen, mit wie vielen Baellen man so ein Muster jongliert, kann man die Ziffern der Zahlenfolge addieren (die Quersumme bilden), und dann durch die Anzahl der Wuerfe teilen (den Durchschnitt bilden). Fuer "5 1" ergibt sich 5 + 1 / 2 = 3, also ein Dreiballmuster. Das kann man richtig mathematisch Beweisen: Sind alle Wuerfe gleich (z.B. 7 7 7 7), haben wir eine einfache Kaskade, und fuer die stimmt die Anzahl der Baelle mit der Durchschnittshoehe der Wuerfe ueberein. Sind nicht alle Wuerfe gleich, gibt es welche, die die hoechste vorkommende Zahl tragen (z.B. die 4er in "4 4 1"). Diese hoechsten Wuerfe muessen groesser als der Durchschnitt sein (es koennen nicht alle Wuerfe kleinergleich dem Durchschnitt sein), denn: Fuer jeden Wurf, der kleiner als der Durchschnitt ist muss es auch groessere geben, damit sich der Durchschnitt in der Mitte ergibt. Betrachten wir die hoechsten Wuerfe: Irgendwann muessen sie zu Ende sein, und es kommt wieder ein Wurf, der niedriger ist (z.B. "4 1" in "4 4 1") (wenn wir am Ende der Zahlenfolge ankommen, fangen wir wieder vorne an, da Siteswaps zyklisch sind). Der ganz rechte der hoechsten Wuerfe und der niedrigere rechts daneben unterscheiden sich um mindestens zwei, da sie bei einem Unterschied von eins beide zum selben Zeitpunkt wieder geworfen werden wuerden, was nicht geht. Jetzt tauschen wir die Wuerfe aus: Zu dem Zeitpunkt, zu dem der erste Wurf landen sollte, landet der zweite Wurf, und da, wo der zweite Wurf landen sollte, landet der erste Wurf. Die erste der zwei Wuerfe bekommt also die Ziffer des zweiten Wurfs, nur um 1 hoeher, da er frueher geworfen wird, und der zweite Wurf bekommt die Ziffer des ersten Wurfs, nur um einen niedriger, da er einen spaeter geworfen wird (z.B. wird "15 7" zu "8 14", und "4 1" zu "2 3"). Die zwei neuen Zahlen sind beide kleiner als die ehemalige linke, da sie mindestens um zwei auseinander lagen. Die Summe der Ziffern bleibt aber gleich, ebenso die Anzahl der Wuerfe, also der Durchschnitt. Weiter bleibt die Zahl der Baelle gleich, die wir brauchen, um dieses Muster zu jonglieren: Zwei Baelle, die wir auch sonst geworfen haette, werfen wir etwas anders, alle anderen Wuerfe bleiben davon aber unberuehrt, da immer noch Baelle ankommen, wenn sie gebraucht werden. Dieses Austauschen koennen wir beliebig oft machen, solange es unterschiedliche Wuerfe und damit hoechste Wuerfe gibt. Jedesmal gibt es einen hoechsten Wurf weniger, die Hoehe der hoechsten Wuerfe nimmt also ab. Die hoechsten Wuerfe koennen aber nur bis zum Durchschnitt fallen, und dann sind alle Wuerfe gleich dem Durchschnitt, also eine Kaskade. Hier stimmt aber die Anzahl der Baelle mit dem Durchschnitt ueberein, und da sich der Durchschnitt und die Anzahl der Baelle durch die Vertauschungen nicht geaendert haben, stimmte auch beim urspruenglichen Site-Swap die Anzahl der Baelle mit dem Durchschnitt ueberein. Uff. Das wars. Dieses Vertauschen von Wuerfen im Beweis fanden die Erfinder so huebsch, dass sie der der Notation den Namen "Site-Swap", also "Stellen-Tausch" gab. Die erste Bedingung, damit irgendeine Zahlenfolge jonglierbar ist, ist dass sich als Anzahl der Baelle, also als Quersumme, eine ganze Zahl ergibt. Das reicht aber noch nicht: Es muessen auch immer Baelle da sein, wenn Baelle geworfen werden, und es darf nur ein Ball zur Zeit in einer Hand sein. Daran scheitert z.B. "4 3 2", da der 4er und der 3er-Wurf gleichzeitig landen, obwohl die Zahl der Baelle (3) ja OK ist. Was ist jetzt so toll an Site-Swaps? Zum einen ist es schoen, ueberhaupt eine Notation zu haben. Fast allen Computerprogrammen, die Jonglieren, kann man mit Site-Swaps sagen, was sie werfen sollen. Weiter gibt es Tricks, die ohne Site-Swaps nicht entdeckt worden waeren (ob das allerdings besonders schoene Tricks sind, daruebr laesst sich streiten...). Site-Swaps liefern interessante Voruebungen fuer schwierige Tricks: So hilft z.B. "5 0 1" beim erlernen der Fuenfballkaskade, da in ihm auch Fuenfballwuerfe vorkommen (ebenso "5 5 5 0 0", der Dreiballflash, und "5 0 5 0 5", die Schlange). Mit Site-Swaps kann man Uebergaenge zwischen Tricks finden. So machen die meisten Leute zwischen Kaskade und 3Ball-Shower eine kleine Pause (3 3 3 5 2 5 1 5 1). Anstelle dessen koennte man auch einen Wurf links gerade hoch machen (3 3 3 4 5 1 5 1). Inzwischen gibt es natuerlich einige Erweiterungen von Siteswaps: In Computersimulatoren ist es verbreitet, dass man bei jedem Wurf angeben kann, von welcher Stelle dieser geworfen wird. Weiter gibt es eine Notation fuer Multiplex-Wuerfe, also Wuerfe, bei denen mehrere Baelle aus einer Hand geworfen werden: Bei einem Wurf gibt man fuer jeden Ball den Zeitpunkt an, an dem dieser landen wird. Also etwa "2 4 [5 4]", wobei beim dritten Wurf halt zwei Baelle geworfen werden. Eine andere Erweiterung ermoeglicht die Notation synchroner Wuerfe, wie z.B. Saeulen, diese werden mit runden Klammern () notiert. Hier werden fuer jeden Zeitpunkt 2 Werte angegeben: Was die rechte Hand wirft, und was die linke Hand wirft. Eine 2 bedeutet: Wird beim naechsten Wurf der zwei Haende geworfen. Eine 4 heisst: Beim uebernaechsten Wurf. Eine 6: Beim 3ten Wurf, etc. Ungerade Zahlen werden nicht benutzt. (4,4) sind z.B. Vier-Ball Saeulen. Da sich einem Zeitpunkt nicht mehr eine bestimmte Hand zuordnen laesst, muessen wir angeben, ob ein Ball kreuzt. Konvention ist: Alle Baelle sind gerade, ausser sie werden mit einem 'x' versehen. (4x,4x) sind kreuzende Vier-Ball-Saeulen.